在三角形ABC中，三个内角ABC的对边是abc且ABC成等差数列用分析法证明c⼀a+b +a⼀b+

证明：由题知：C-B=B-A，即：A+C=2B，则A+B+C=3B=180°，得B=60°。

若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c，由余弦定理，得

b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca

欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)..................①

于是原题等价于证明①式成立，交叉相乘得：

3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理，得
b^2=c^2+a^2-ca，............................②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立，就等价证明②式成立。而②式已经由余弦定理证得。

所以由此倒推即得。

方法（2）设B>A>C 则：①A+B+C=180;②B-A=A-C →C=2A-B
把②代入①得：A=60 那么B+C=120
推理可得：B=90,C=30
所以△ABC为直角三角形，并且③c=2a
假如1/[a+b]+1/[b+c]=3/[a+b+c]是真的话，则展开可得：
a^2+c^2=ac+b^2
把③代入上式可得：c^2=a^2+b^2符合直角三角形的勾股定律
所以1/[a+b]+1/[b+c]=3/[a+b+c]正确

证：
∵角ABC成等差数列，∴∠B-∠A =∠C-∠B
即∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∠B=60°

由余弦定理，得

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
=c^2+a^2-2ac*cos60°
=c^2+a^2-2ac*1/2
=c^2+a^2-ac
即：c^2+a^2=b^2+ac

c/(a+b)+a/(b+c)
=[ c(b+c)+a(a+b) ] / (a+b)(b+c)
=bc+c^2+a^2+ab / (a+b)(b+c)
=b^2+ac+bc+ab / (a+b)(b+c)
=b(b+c)+a(b+c) / (a+b)(b+c)
=(a+b)(b+c) / (a+b)(b+c)
=1
原式得证