圆锥的高是1,轴截面的顶角为2派⼀3,过顶点的截面截圆锥,截得的截面三角形的面积最大值为__

答：如图所示，圆锥A-BDC

依据题意，∠BAC=120°，AD=1

所以：AB=AC=2，BC=2√3

底面圆半径R=√3

设过顶点A的截面AEF，设∠DAG=a∈[0,60°)

根据对称性可以知道：EG=FG

EF⊥平面ABC

AG=AD/cosa=1/cosa

DG=AGsina=tana

根据勾股定理可以知道：EG^2=FG^2=R^2-DG^2=3-(tana)^2

所以：EF=2√[3-(tana)^2]

所以截面三角形AEF的面积：

S=EF*AG/2

=2√[3-(tana)^2]/(2cosa)

=√[3(cosa)^2-(sina)^2]/(cosa)^2

=√[4(cosa)^2-1]/(cosa)^2

设x=(cosa)^2∈(1/4，1]

S=√(4x-1)/x

对x求导：

S'(x)=2 / [x√(4x-1)]-√(4x-1)/x^2

=[2x-(4x-1)] / [(x^2)√(4x-1)]

=(1-2x) / [(x^2)√(4x-1)]

解S'(x)=0得x=(cosa)^2=1/2

cosa=√2/2，即a=45°时截面三角形取得最大值

最大值S=√[4*(1/2)-1]/(1/2)=2

所以：最大截面积为2

由题意知，当过顶点的截面为轴截面时，截面三角形的面积最大，最大面积为根号3