正态分布的数学期望推导过程！希望拍照啊！

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 

其实就是均值是u，方差是t^2

于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

（1）求均值 

对（*）式两边对u求导：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 

约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 

把(u-x)拆开，再移项：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 

也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u 

这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。

（2）方差 

对(*)式两边对t求导：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 

移项：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 

也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

第三行是拆开以后第一项奇0得到的

大致过程就这样，最后一步省略了

是不是很有道理！