欧拉定理的运用方法

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
当r=4时值为a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca
r=5时值为a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c）+ca(c+a)+abc
一般的，当r取正整数n时，有a^n/(a-b)(a-c)+b^n/(b-c)(b-a)+c^n/(c-a)(c-b) =∑ (a^i)*(b^j)*(c^k)，
其中i，j，k是非负整数，且i+j+k=n。 由e^iθ=cosθ+isinθ，得到：
sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2i
cosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d^2=R^2-2Rr 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体 设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)定理内容
在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。
其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。
欧拉定理 若(a,n)=1，则aφ(n)≡1 (mod n) 其中n是正整数，φ(n)是小于n且与n互素的正整数的个数,称欧拉函数。 证：设R={x1,x2,...,xφ(n)}是由小于n且与n互素的全体数组成的集合，a╳R={ax1 mod n,ax2 mod n,...,axφ(n) mod n}},对a╳R中任一元素axi mod n，因a与n互素，xi与n互素，所以axi与n互素①②，又axi mod n所以aφ(n)≡1 (mod n)。 ①(A)设a,b和c是正整数，(a,b)=1，a|bc，则a|c。（涉最小公倍数证明从略） (B)设a,b和c是正整数，(a,b)=1，c|a，则(b,c)=1。 证：设(b,c)=d且d>1，则有d|b，d|c。由d|c，c|a，⇒d|a。由于d|a，d|b，所以d是a和b的公因数，而a,b的最大公因数(a,b)=1，与定义矛盾，因此(b,c)=1。 (C)设a,b和c是正整数，(a,b)=1，则(a,bc)=(a,c)。 证：设(a,c)=d1，(a,bc)=d2，一方面d1|a,d1|c，d2|a,d2|bc，⇒d1|a,d1|bc，⇒d1是a和bc的公因数，依定义:d1≤d2 另方面由d2|a,(a,b)=1及性质（7）得(d2,b)=1。从(d2,b)=1，d2|bc，由性质（6）得d2|c，⇒d2是a和c的公因数，依定义:d2≤d1 从而d2=d1，故(a,c)=(a,bc)。 推论：若(a,b)=(a,c)=1，则(a,bc)=1。 ②根据性质gad(a,b)=gad(b，r)，有(a,n)=(axi mod n,n)=1。 ③设axi mod n=axj mod n，1≢xi，xj≢n.⇔axi≡axj（mod n），由a与n互素知，a在mod n下有乘法逆元或消去律，⇔xi≡xj（mod n），⇔xi mod n≡xj mod n，记xi=nq1+r,xj=nq2+r,⇒xi-xj=n(q2-q1)⇒xi=xj+n(q2-q1)，若q2≠q1⇒xi>n,所以xi=xj。 ④[（a mod m）╳(b mod m)]mod m=(a╳b) mod m ∏（axi mod n）=∏xi，∏axi≡∏xi（ mod n），aφ(n) ∏xi≡∏xi（ mod n）。④ i=1 φ(n) i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) 由每一xi与n互素，知∏xi与n互素，∏xi在mod n下有乘法逆元。 i=1 i=1 φ(n) φ(n)
2011年~2012学年第一学期 密码学基础 网络工程0901-0902 开课时间：2011-08
《现代密码学》，杨波，清华大学出版社，2007年4月 第4章公钥密码-欧拉定理 证 (a╳b) mod m=（jm+ra）╳(km+rb)mod m=((jkm+kra+jrb)m+rarb) mod m=(rarb) mod m=[（a mod m）╳(b mod m)]mod m。 费尔玛定理 若p是素数，a正整数，且(a,p)=1，则ap-1≡1(mod n) 证：欧拉定理取n为素数p，欧拉函数φ(p)=p-1，即得费尔玛定理。