191问答库 > 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（

2025-02-23 17:14:29

推荐回答（1个）

回答1：

（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（

1

16

×16）=f（

1

16

）+f（16）=0，
故f（

1

16

）=-2．
（3）设x₁ ，x₂ ＞0且x₁ ＞x₂ ，于是f（

x 1

x 2

）＞0，
∴f（x₁ ）=f（

x 1

x 2

×x₂ ）=f（

x 1

x 2

）+f（x₂ ）＞f（x₂ ）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴

x＞0

x-3＞0

x(x-3)≤4

?3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．