证明两角和的余弦公式

嫂姑络

2025-03-15 07:28:04

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回答1：

1、首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c
若A,B均为锐角，则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D
由CD=asinB=bsinA
(做另两边的垂线，同理)
可证明正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
于是有:
AD+BD=c
AD=acosA,BD=acosB
AD+BD=c
代入正弦定理，可得
sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。(证明略),
于是有
cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin(-B)=cosAcosB-sinAsinB
2、余弦定理：
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

回答2：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB