191问答库 > 已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=-2x2+4x，（1）求f（x）解析式；（2）求当x∈[a，a+2]，时，f

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=-2x2+4x，（1）求f（x）解析式；（2）求当x∈[a，a+2]，时，f

2025-03-06 02:11:39

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回答1：

（1）设f（x）=ax²+bx+c，
a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=-2x²+4x，
2ax²+2bx+2a+2c=-2x²+4x，

a＝?1

b＝2

c＝1

，∴f(x)＝?x2+2x+1．
（2）f（x）=-（x-1）²+2，
①a+2＜1即a＜-1，当x=a+2，f（x）_max=-a²-2a+1；
②a≤1≤a+2即-1≤a≤1，当x=1，f（x）_max=2；
③a＞1，当x=a，f（x）_max=-a²+2a+1；
故f(x)max＝

?a2?2a+1，a＜?1

2，?1≤a≤1

?a2+2a+1，a＞1