等比数列的性质与等差数列的性质

等差数列
通项公式
　　an=a1+(n-1)d
　　an=Sn-S(n-1)
(n≥2)
　　an=kn+b(k,b为常数)
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式：
　　Sn=a1+a2+a3······+an
　　=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]
①
　　Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]
②
　　由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an)
　　固
Sn=n(a1+an)/2
　　等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
　　Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
　　且任意两项am，an的关系为：
　　an=am+(n-m)d
　　它可以看作等差数列广义的通项公式。
　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n}
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
　　am+an=ap+aq
　　S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。
　　和=（首项+末项）×项数÷2
　　项数=（末项-首项）÷公差+1
　　首项=2和÷项数-末项
　　末项=2和÷项数-首项
　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
等比数列
通项公式
　　an=a1q^(n-1)
　　an=Sn-S(n-1)
(n≥2)
前n项和
　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)
(q≠1)
　　当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
　　Sn=na1
性质
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
　　性质：
　　①若
m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；
　　②在等比数列中，依次每
k项之和仍成等比数列。
　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
　　(5)
等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
　　在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
　　注意：上述公式中a^n表示A的n次方。