（x+2)⼀(x^2+2x+3)不定积分

2024-11-14 15:10:23

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回答1：

对于这种积分，课本上是有公式的。
积分：（LX+M)/(X^2+PX+Q)dx(p^2-4q<0)
换元，令t=x+p/2,
变为 ∫Lt+N)/(t^2+r^2)dt
=L∫t/(t^2+r^2)dt+N∫1/(t^2+r^2)dt
第一个是：
＝1/2ln(t^2+r^2)+C
第二个是：
＝1/r×arctan(t/r)+C(换元）

对于本题而言
∫(x+2)/(x^2+2x+3)dx
=1/2ln(x^2+2x+3)+√2/2arctan[√2(x+1)/2]+C

回答2：

答：
∫ (x+2)/(x^2+2x+3) dx
=∫ (x+1+1)/(x^2+2x+3) dx
=1/2*ln(x^2+2x+3)+∫ 1/[(x+1)^2+2] dx
=1/2*ln(x^2+2x+3)+1/2*∫ 1/([(x+1)/√2]^2+1) dx
=1/2*ln(x^2+2x+3)+1/2*√2*arctan((x+1)/√2) + C
=1/2*ln(x^2+2x+3)+1/√2*arctan((x+1)/√2) + C