3个傅里叶级数求解

解：2题，f(x)=e^(2x)，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=[e^(2π)-e^(-2π)]/(2π)。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cosnxdx=[(-1)^n](4a0)/(n^2+4)，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=-[(-1)^n](2na0)/(n^2+4)，∴f(x)=(1/2)a0+∑[ancosnx+bnsinnx)=(a0){1/2+2∑[(-1)^n](2cosnx-nsinnx)/(n^2+4)}，其中，n=1,2，……，∞，a0=[e^(2π)-e^(-2π)]/(2π)。
3题，f(x)=π/4-x/2，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=π/2。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cosnxdx=0，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=[(-1)^n]/n，∴f(x)=(1/2)a0+∑[ancosnx+bnsinnx)=π/4+∑[(-1)^n](sinnx)/n，其中，n=1,2，……，∞。
4题，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,0)f(x)dx+(1/π)∫(0,π)f(x)dx=π。按照余弦级数展开式，an=(2/π)∫(0,π)f(x)cosnxdx=2[1-(-1)^n]/(πn^2)，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=0。又，当n为偶数时，an=0、当n为奇数时，an=4/(πn^2)，∴f(x)=(1/2)a0+∑ancosnx=π/2+(4/π)∑cos[(2n-1)x]/(2n-1)^2，其中，n=1,2，……，∞。
供参考。