已知数列{A(n)}满足A1=3⼀4,且A(n+1)(2A(n)+1)=3A(n),记b(n)=1⼀A(n)-1,(n属于自然数)． (1)证明:数列{b(...

A(n+1) = 3An/[2An + 1]

1/A(n+1) = [2An + 1]/[3An]

               = 2/3 + 1/[3An]

1/A(n+1) - 1 = 1/[3An] + 2/3 - 1 = 1/[3An] - 1/3 = 1/3*[1/An - 1]

1. 可以看出，{1/An - 1} 是等比数列。也就是说，{Bn} 是等比数列。

   Bn = B1 * (1/3)^(n-1)

        = (1/A1 - 1) * (1/3)^(n-1)

        = 1/3 * (1/3)^(n-1) = 1/3^n

2. Cn = n/An = n*[1/An - 1 + 1] = n*[1/An - 1] + n

         = n/3^n + n

   Sn = [1/3 + 2/3^2 + …… + n/3^n] + (1 + 2 + …… + n)

        = S'n + n(n+1)/2

    

   为了解决下面的求和，需要先构造一个新的求和公式 S'n：

   S'n = 1/3 + 2/3^2 + …… + n/3^n

   方程两边同时乘以 1/3，可以得到：

   1/3 *S'n =   1/3^2 + 2/3^3 + …… + (n-1)/3^n + n/3^(n+1)

   这两个方程左右两边分别相减，可以得到：

   2/3*S'n = 1/3 + 1/3^2 + …… + 1/3^n - n/3^(n+1)

               = [1/3 - 1/3^(n+1)]/[1 - 1/3] - n/3^(n+1)

               = 1/2 * [1 - 1/3^n] - n/3^(n+1)

               = 1/2 - 1/2* 1/3^n - n/3^(n+1)

   所以，S'n = 3/4 - 3/4 * 1/3^n - (3n/2) /3^(n+1)

   因此，把上面的结果代回前式，可以得到：

   Sn = 3/4 - 3/4* 1/3^n - (3n/2)/3^(n+1) + n(n+1)/2