问四道较难的初二几何奥数题，好再加分。

1.在∠PCQ里做∠PCM=∠ACP,CM=AC,连接DM,QM.
∵在△ACP与△MCP中，CM=AC,∠ACP=∠MCP,CP=CP
∴△ACP≌△MCP(ASA)
∴AP=PM,∠A=∠PMC
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠A=∠B=45°，CM=BC,∠A+∠B=90°
∴∠QCM=45°-∠PCM,∠QCB=90°-∠PCQ-∠ACP=45°-∠ACP
∴∠QCM=∠QCB
∵在△QCM与△QCB中,MC=BC,∠QCM=∠QCB,CQ=CQ
∴△QCM≌QCB（SAS）
∴MQ=BQ,∠B=∠QMC
∴∠A+∠B=∠PMC+∠QMC=90°=∠PMQ
∴PM的平方+MQ的平方=PQ的平方
∴PQ的平方=AP的平方+BQ的平方

2.将△APB顺时针旋转60°至△BP1C，连接PP1
∴△APB≌△BP1C,∠PBP1=60°
∴P1C=AP=3,PB=BP1=4,∠APB=∠BP1C
∵∠PBP1=60°,BP=BP1
∴△PBP1为等边三角形
∴PP1=BP1=4,∠PP1B=60°
∵PP1的平方+PP1C的平方=3的平方+4的平方=5的平方=PC的平方
∴△PP1C为Rt△,∠PP1C=90°
∵∠PP1B=60°,∠PP1C=90°
∴∠PP1B+∠PP1C=60°+90°=150°=∠BP1C
∴∠APB=150°

3.延长DE交AC于N，反向延长DE交AB于M
利用三角形两边之和大于第三边，得：
AM+AN＞MD+DE+EN,MB+MD＞DB,EN+NC＞EC
把上面的三式相加得：AB+AC＞BD+DE+EC

4.(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形。
(2) 此时共有2个友好矩形，BCAD、ABEF.
(3) 此时共有3个友好矩形，BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小。
证明过程省略。

1.做∠PCM=∠ACP,CM=AC,连接DM,QM.
∵在△ACP与△MCP中，CM=AC,∠ACP=∠MCP,CP=CP
∴△ACP≌△MCP(ASA)
∴AP=PM,∠A=∠PMC
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠A=∠B=45°，CM=BC,∠A+∠B=90°
∴∠QCM=45°-∠PCM,∠QCB=90°-∠PCQ-∠ACP=45°-∠ACP
∴∠QCM=∠QCB
∵在△QCM与△QCB中,MC=BC,∠QCM=∠QCB,CQ=CQ
∴△QCM≌QCB（SAS）
∴MQ=BQ,∠B=∠QMC
∴∠A+∠B=∠PMC+∠QMC=90°=∠PMQ
∴PM的平方+MQ的平方=PQ的平方
∴PQ的平方=AP的平方+BQ的平方

2.将△APB顺时针旋转60°至△BP1C，连接PP1
∴△APB≌△BP1C,∠PBP1=60°
∴P1C=AP=3,PB=BP1=4,∠APB=∠BP1C
∵∠PBP1=60°,BP=BP1
∴△PBP1为等边三角形
∴PP1=BP1=4,∠PP1B=60°
∵PP1的平方+PP1C的平方=3的平方+4的平方=5的平方=PC的平方
∴△PP1C为Rt△,∠PP1C=90°
∵∠PP1B=60°,∠PP1C=90°
∴∠PP1B+∠PP1C=60°+90°=150°=∠BP1C
∴∠APB=150°

3.延长DE交AC于N，反向延长DE交AB于M
利用三角形两边之和大于第三边，得：
AM+AN＞MD+DE+EN,MB+MD＞DB,EN+NC＞EC
把上面的三式相加得：AB+AC＞BD+DE+EC

4.(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形。
(2) 此时共有2个友好矩形，BCAD、ABEF.
(3) 此时共有3个友好矩形，BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小。