92. 由题设,x1, x2 是 A 的属于特征值 λ1,λ2 的特征向量,则
Ax1 = λ1x1, Ax2 = λ2x2. 则 A(x1+x2) = λ1x1 + λ2x2 (式 0)
反证法, 假设 x1+x2 是 A 的特征向量,则 A 有特征值 λ 满足
A(x1+x2) = λ(x1+x2) (式1)
(式1) - (式 0) 得 (λ-λ1)x1 + (λ-λ2)x2 = 0 (式2)
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假设方阵A可以相似于对角矩阵D, (P逆)AP=D, 那么A的r重特征根也是D的r重特征根,故关于该特征根,D有r个线性无关的特征向量{ai}, 相应的诱导出 A也有r个线性无关的特征向量{P*ai}。