三个质数abc的乘积等于这三个质数和的5倍,求a^2+b^2+c^2

a^2+b^2+c^2的值是78。abc=5(a+b+c)。因为a,b,c均为质数，故a,b,c中，一个是5，又因带求式为轮换对称式，因此a,b,c任意改变顺序不影响结果，不妨设a=5，化为5bc=25+5b+5c两边同除以5，bc=5+b+c，bc-b-c+1=6，(b-1)(c-1)=6=1*6=2*3，若分解为2*3则b,c一个为3，一个为4(不符题意)，故(b-1)(c-1)=1*6，a^2+b^2+c^2=5^2+2^2+7^2=78。

数学：

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

abc=5(a+b+c)
因为a,b,c均为质数，故a,b,c中
一个是5，又因带求式为轮换对称式，因此a,b,c任意改变顺序不影响结果
不妨设a=5
化为5bc=25+5b+5c
两边同除以5
bc=5+b+c
bc-b-c+1=6
(b-1)(c-1)=6=1*6=2*3
若分解为2*3则b,c一个为3，一个为4(不符题意)
故(b-1)(c-1)=1*6
不妨设b-1=1
c-1=6
那么b=2
c=7
a^2+b^2+c^2=5^2+2^2+7^2=78

abc=5(a+b+c)
，而a、b、c均为质数，所以其中必有一数为5，不妨设a=5，
于是和
5bc=5(5+b+c)，整理为
b=(c+5)/(c-1)=(c-1+6)/(c-1)=1+6/(c-1)
，
为保证
b为正整数，必使
6/(c-1)
为正整数，
所以只能取
c-1=1、2、3、6，即
c=2、3、4、7，
依次得
b=7、4、3、2，其中b=4、c=3和
b=3、c=4
均不合题意(4不是质数),，
所以
b、c中一个为7，一个为2，不妨
b=7、c=2
，
于是
a^2+b^2+c^2=5^2+7^2+2^2=25+49+4=78.