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已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于定义域内的任意x,y都有f(xy)=f(x
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于定义域内的任意x,y都有f(xy)=f(x
2024-11-19 07:46:40
推荐回答(1个)
回答1:
(1)∵f(x?y)=f(x)+f(y),
∴f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.
设x
1
,x
2
∈(0,+∞)且x
1
<x
2
,
则
x
2
x
1
>1,
∴f(
x
2
x
1
)>0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)=f(x
1
)-f(
x
2
x
1
?x
1
)=f(x
1
)-f(
x
2
x
1
)-f(x
1
)=-f(
x
2
x
1
)<0
∴f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)令x=
1
3
,y=1得,f(
1
3
×1)=f(
1
3
)+f(1),∴f(1)=0.
令x=3,y=
1
3
得,f(1)=f(3×
1
3
)=f(3)+f(
1
3
),
∵f(
1
3
)=-1,∴f(3)=1.
令x=y=3得,f(9)=f(3)+f(3)=2,
∴f(x)-f(
1
x-2
)>f(9),f(x)>f(
9
x-2
)
∴
x>0
x-2>0
x(x-2)>9
,
解得x>1+
10
.
∴x的取值范围为(1+
10
,+∞)
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