191问答库 > 设有n个数x1、x2、x3……xn,它们中的每一个数或者为1,或者为-1,如果x1+x2+x3+…

设有n个数x1、x2、x3……xn,它们中的每一个数或者为1,或者为-1,如果x1+x2+x3+…

…xn-1xn+xnx1=0 请说明n是4的倍数

2025-04-14 08:16:12

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回答1：

以下设Xn+1=X1
注意到X1,Xn+1同号,X1,X2,...,Xn+1之中"变号"了偶数次
也就是说,有偶数个i(1≦i≦n)使得Xi=-Xi+1,不妨设此偶数为2t
易知
if Xi=-Xi+1 then (Xi-Xi+1)^2=4 (*)
if Xi=Xi+1 then (Xi-Xi+1)^2=0 (**)
由题目,(*),(**),有
0=-2(X1X2+X2X3+...+XnX1)=Σ[(Xi-Xi+1)^2]-2ΣXi^2=Σ[(Xi-Xi+1)^2]-2n
i.e.2n=Σ[(Xi-Xi+1)^2]=4*(2t),so n=4t
Q.E.D.
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