求微分方程y✀+y⼀x=2lnx+1的通解

xy'+y-y2lnx=0 先求方程的特解： (x/y2)y'+1/y=lnx 先求齐次方程（x/y2)y'+1/y=0；用y乘两边得(x/y)(dy/dx)+1=0........(1)的通解：分离变量得 dy/y=-dx/x；积分之得lny=-lnx+c 故齐次方程(1)的通解为y=e^(-lnx+c)=c/x；将积分常数改为x的函数u，得y=u/x.........(2) 将(1)的两边对x取导数得y'=(xu'-u)/x2........(3) 将(2)(3)代入原方程得：(xu'-u)/x+u/x-(u2/x2)lnx=0, 化简并消去同类项得：u'-(u2/x2)lnx=0；再分离变量得：du/u2=[(lnx)/x]dx=lnxd(lnx) 积分之得-1/u=(1/2)ln2x+c=(ln2x+2c)/2；故u=-2/(ln2x+2c)，代入(2)式即得原方程的通解为y=-2/[x(ln2x+2c)]; 代入初始条件：x=1，y=1，得1=-2/(2c)，故c=-1；于是得原方程的特解为y=-2/[x(ln2x-2)].........(3) 故x=e时y=-2/(-2e)=1/e. 应选A.