191问答库 > 设F(x)为f(x)的原函数，且当x>=0时，f(x)F(x)=xe^x⼀2(1+x)^2,已知F(0)=1,F(X)>0,试求f(x)

设F(x)为f(x)的原函数，且当x>=0时，f(x)F(x)=xe^x⼀2(1+x)^2,已知F(0)=1,F(X)>0,试求f(x)

2025-03-04 15:32:52

推荐回答（2个）

回答1：

过程如下

回答2：

由题意知F'(x)F(x)=xe^x/2(1+x)^2，进一步化为F(x)d(F(x))=xe^x/2(1+x)^2d(x),两边对x积分，可得1/2(F(x))^2=e^x/(1+x)+C(C为任意常数），求得F(x)=+_(2e^x/(1+x)+2C)^(1/2),再利用已知F(0)=1,F(X)>0，可得F(x)=)=(2e^x/(1+x)-1)^(1/2),再由f(x)F(x)=xe^x/2(1+x)^2，可求得f(x)