问一道高数题

例五中因为必须在乘除条件下才能各自用无穷小替代
也就是tanx-sinx(加减)
要化成tan(1-cosx)再用无穷小替换
右边的是用泰勒无穷小增量公式
△y=f'(x0)△x+o(△x)
对tan5x
=tan0+(sec0)^2(5x-0)+o(5x)
=5x+o(x)
对1-cosx
cosx=cos0-sinx0(x-0)-cos(0)/2(x-0)^2+0(x^2)
=1-(x^2)/2+o(x^2)
1-cosx=(x^2)/2+o(x^2)
sin3x=sin0+3cos0(x-0)+o(x)
=3x+o(x)
代入原式就OK了

拓毕塔法则
无穷小的等级是一样的才行

什么时候都可以用无穷小替换，但是替换的时候要保留高阶项，到最后再看能不能舍去高阶项。

比如tan(x)=x+o(x) ，sin(x)=x+o(x), o(x)为x的高阶项

但是要注意
tan(x)-sin(x)=o(x)-o(x)=o(x) 结果是o(x)而不是0（结果仍然是x的高阶项，所以如果想要得到结果就必须把你所用的高阶项里的o(x)弄的更精确一点，或者用其他方法。
如果我没记错的话tan(x)=x+1/3x^3+o(x^3) sin(x)=x-1/6x^3+o(x^3)
所以tan(x)-sin(x)=1/2x^3+o(x^3)

分子如果改成 tan(2x)-sin(x), 那就可以写成 2x-x+o(x)=x+o(x)