191问答库 > 已知x、y、z是正实数，x+y+z=1 求证1⼀（1+x^2)+1⼀（1+y^2)+1⼀（1+z^2)<=27⼀10

已知x、y、z是正实数，x+y+z=1 求证1⼀（1+x^2)+1⼀（1+y^2)+1⼀（1+z^2)<=27⼀10

2025-02-28 18:58:30

推荐回答（1个）

回答1：

由柯西不等式得：（1+1+1)(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2=1
3(x^2+y^2+z^2)>=1
x^2+y^2+z^2>=1/3
所以 x^2>=1/9 ;y^2>=1/9 ;z^2>=1/9
所以 1/ (1+x^2)<=1/(1+1/9)=9/10
1/ (1+y^2)<=1/(1+1/9)=9/10
1/ (1+z^2)<=1/(1+1/9)=9/10
三式相加即; 1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)<=27/10