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2010年河源市初中毕业生学业考试
数 学 试 题
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．－2的相反数是（ ）
A．2 B．－1 C．－ 1 2 D． 1 2
2．右图所示几何体的正视图是（ ）

3．如图是我市某一天内的气温变化图，根据图形，下列说法中错误的是（ ）
A．这一天中最高气温是24℃
B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃
C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
4．函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≤－1
5．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．矩形 D．正三角形
二、填空题（每小题4分，共20分）
6．如图，在△ABC中，BC＝6cm，E、F分别是AB、AC的中点，
则EF＝_______cm．
7．已知反比例函数y＝ k x(k≠0)的图象经过点(1，－1)，
则k＝___________．
8．甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中的进球数分别为：9、9、11、7，则这组数据的：①众数为_____________；②中位数为____________；③平均数为__________．
9．若x1、x2是一元二次方程x2―2x―1＝0的两个根，则x1＋x2的值等于__________．
10．平面内不过同一点的n条直线两两相交，它们的交点个数记作an，并且规定a1＝0．那么：①a2＝_____；②a3－a2＝_______；③an－an-1＝______(n≥2，用含n的代数式表示)．
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．分解因式：a3－ab2．

12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．按以下步骤作图：
①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC、AB于点E、D；
②分别以D、E为圆心，以大于 1 2DE长为半径画弧，两弧相交于点P；
③连结AP交BC于点F．
那么：
(1)AB的长等于__________(直接填写答案)；(2)∠CAF＝_________°(直接填写答案)．
13．计算： ．

14．解方程： ．

15．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(―1，3)和点B(2，―3)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积．

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．在平面直角坐标系中，点M的坐标为(a，1－2a)．
(1)当a＝－1时，点M在坐标系的第___________象限(直接填写答案)；
(2)将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．

17．(1)如图①，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．求证：PA＝PB．
(2)如图②，过⊙O外一点P的两条直线分别与⊙O相交于点A、B和C、D．则当 时，PB＝PD(不添加字母符号和辅助线，不需证明，只需填上符合题意的一个条件)．

18．如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40m长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
(1)求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)生物园的面积能否达到210m2?说明理由．

19．某校九年级有200名学生参加了全国初中数学联合竞赛的初赛，为了了解本次初赛的成绩情况，从中抽取了50名学生，将他们的初赛成绩(得分为整数，满分为100分)分成五组：第一组49.5～59.5；第二组59.5～69.5；第三组69.5～79.5；第四组79.5～89.5；第五组89.5～100.5．统计后得到图8所示的频数分布直方图(部分)． 观察图形的信息，回答下列问题：
(1)第四组的频数为_____(直接写答案)．
(2)若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”．那么这200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D”的学生约有________个(直接填写答案)．
(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组，再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛．用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．河东中学初三(1)班学生到万绿湖春游，有一项活动是划船、游船有两种，甲种船每条船最多只能坐4个人，乙种船每条船最多只能坐6个人．已知初三(1)班学生的人数是5的倍数，若仅租甲种船，则不少于12条；若仅租乙种船，则不多于9条．
(1)求初三(1)班学生的人数；
(2)如果甲种船的租金是每条船10元，乙种船的租金是每条船12元．应怎样租船，才能使每条船都坐满，且租金最少？说明理由．

21．如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)求证：PE＝PF；
(2)当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；
(3)若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且 AP BC＝32．求此时∠A的大小．

22．如图，直角梯形OABC中，OC‖AB，C(0，3)，B(4，1)，以BC为直径的圆交x轴于E、D两点(D点在E点右方)．
(1)求点E、D 的坐标；
(2)求过B、C、D三点的抛物线的函数关系式；
(3)过B、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

河源市2010年初中毕业生学业考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题(每小题3分共15分)
1．A 2．A 3．D 4．B 5．D
二、填空题(每小题4分，共20分)
6．3；7．―1；8．9，9，9；9．―2；10．1，2， (前2空每空1分，后一空2分，共4分)
三、解答题(本大题5小题，每小题6分，共30分)
11．解：原式＝ ┄┄(3′)＝ ┄┄(6′)
12．⑴ 4 ┄┄(3′ ⑵ 30┄┄(3′
13．解：原式＝ ┄┄4′＝1+2┄┄5′＝3┄┄6′
14．解：原方程变形为 ┄┄2′
方程两边都乘以 去分母得：x―1＝2X ┄┄4′
解这个整式方程得x＝―1 ┄┄5′
经检验：x＝―1是原方程的根 ┄┄6′
15．解：⑴依题意得 ┄┄1′ 解得 ┄┄2′
∴所求一次函数的表达式是 ┄┄3′
⑵令X＝0，由 得，y＝1，令y＝0，由 ，得X＝ ┄┄4′
∴直线AB与坐标轴的交点坐标分别是 和 ┄┄5′
所以所围成的三角形面积为： ＝ ┄┄6′
四、解答题(二)(本大题4小题，每小题7分，共28分)
16．⑴ 2 ┄┄3′
⑵解：依题意得 ┄┄5′解得 ┄┄7′

17．证明：⑴ 连接OA，OB，
∵PA，PB分别是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB ┄┄2′
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵ ┄┄3′
∴Rt△POA≌Rt△POB┄┄4′
∴PA＝PB┄┄5′
⑵ AB＝CD ┄┄7′
18．解：⑴依题意得： ┄┄1′
∴ ＝ ┄┄2′
的取值范围是 ┄┄3′

⑵当 时，由⑴可得， ┄┄4′
即 ┄┄5′
∵ ∴ ┄┄6′
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．┄┄7′
19．解：⑴ 2 ┄┄1′⑵ 64 ┄┄2′
⑶依题得第四组的频数是2，第五组的频数也是2，设第四的2名学生分别为 ． 第五组的2名学生为 ． ，列表(或画树状图)如下，

A1 A2 B1 B2
A1 ―― A1、A2 A1、B1 A1、B2
A2 A2、A1 ―― A2、B1 A2、B2
B1 B1、A1 B1、A2 ―― B1、B2
B2 B2、A1 B2、A2 B2、B1 ――

┄┄5′
由上表可知共有12种结果，其中两个都是90分以上的有两种结果，所以恰好都是在90分以上的概率为 ┄┄7′
20．解：⑴设初三(1)有5 人，依题意得， ┄┄2′
解得， ┄┄3′
∵5 是正整数，∴ 取10，
所以初三(1)的学生人数为50人．┄┄4′
⑵设租甲船x条，租乙船y条，租金为P，则

∴ ， ┄┄6′
又∵ 都是非负整数，即
∴
∴ 的取值是0．1．2┄┄12，┄┄8′
∵ ∴当 取最小值，且 为非负整数时，P的值也为最小．
∴
所以应租甲船5条，乙船5条．┄┄9′
21．⑴，证明：∵CE平分∠BCA ，
∴∠BCE＝∠PCE
又MN‖BC，
∴∠BCE＝∠PEC
∴∠PCE＝∠PEC
∴PE＝PC┄┄2′
同理PF＝PC
∴PE＝PF┄┄3′
⑵不能．┄┄4′，理由是：
∵由⑴可知，PE＝PF＝PC，
又PC+PF>CF，
∴PE+PF>CF
即EF>CF┄┄5′
又菱形的四条边都相等，
所以四边形BCFE不可能是菱形．┄┄6′
⑶若四边形AECF 是正方形．则AP＝CP， ∠ACE＝
∵∠BCE＝∠PCE
∴∠BCA＝ ┄┄7′
又∵
∴ 即tan∠B＝ ┄┄8′
∴∠B＝60°∴∠A＝90°―∠B＝30°┄┄9′

22．解：⑴，在BC上取中点G，并过G作GH⊥x轴于H ，连接GD，
∵ ，
∴G ∴H(2，0) ┄┄1′
∵BC＝ ，GH＝2―0＝2
又DG＝BG＝
∴HD＝
∴D(3，0)，E(1，0) ┄┄2′
⑵设过B、C、D三点的抛物线表达式为 则，
┄┄3′
解得， ┄┄4′
∴ ┄┄5′
⑶设Q ，由(2)可得Q ．过Q作QN⊥X轴于N
分2种情况：
①当∠BDQ＝90 º时，∴∠NDQ+∠BDA＝90°
∵∠DNQ＝∠BAD＝90 º∴∠NDQ+∠NQD＝90°∴∠NQD＝∠BDA
∴△NDQ∽△ABD ∴ ┄┄6′
即 解得 ，
当 ，当 ，
∴ ， (与点D重合，舍去) ┄┄7′
② 当∠DBQ＝90º时，则有 ，
∵B(4，1)，D(3，0)，Q ，
∴BD ＝

∴ +2＝
整理得， ，解得 ， ┄┄8′
∴当 时， ＝1，(此时，Q点与B点重合，舍去)当 时，
∴ (与点B重合，舍去)，
综上所述符合条件的点有2个，分别是 ， ．┄┄9′