大一高数间断点的一条题目 求解答

当|x|=1,即x=-1或x=1时，f(x)=0

当x∈(-∞,-1)∪（1，∞）时, 用罗必达法则，f(x)=

=lim(n->∞）（1-（2n+1)x^2n)/(2nx^(2n-1))

=lim(n->∞）（1/(2nx^(2n-1))-lim(n->∞）（x+1/(2n)*x)

=0-x+0*x=-x

∴当x->1+, f(x)->-1

当x->-1-, f(x)->1

当x=0时, f(x)=0

当x∈(-1,0)∪（0,1）时,  设t=1/x, 则

f(x)=f(1/t)=lim(n->∞)(1/t-(1/t)^(2n+1))/(1+(1/t)^(2n))

=lim(n->∞)(t^(2n)-1)/(t^(2n+1)+t)

=lim(n->∞)(1/(t+1/t^(2n-1)))-lim(n->∞)(1/(t^(2n+1)+t))

=1/(t+0) -0=1/t=x

当x->0-, f(x)->0

当x->0+, f(x)->0

∴f(x)在x=0点连续

当x->1-, f(x)->1

当x->-1+, f(x)->-1

∴在x=-1和x=1处, 函数的左右极限都在,但都不等于该点的函数值,

x=-1和x=1是函数的第一类间断点中的跳跃间断点.

　　事实上，
　　　　f(x) = x，|x|<1，
　　　　　　= 0，x=±1，
　　　　　　= -x，|x|>1，
易验（通过求左右极限），x=±1都是 f(x) 的跳跃间断点。