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微分方程y✀✀+y=e^x的一条积分曲线,使其在点(0,,1)处与直线y=(1⼀2)x+1相切

2024-11-17 02:49:56

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回答1：

求微分方程y''+y=e^x满足y'(0)=1/2, y(0)=1的特解。
解：齐次方程y''+y=0的特征方程 r²+1=0的根r₁=i；r₂=-i.
因此齐次方程的通解为：y=C₁cosx+C₂sinx
设一个特解为：y*=ae^x；y*'=ae^x; y*''=ae^x
代入原式得 ae^x+ae^x=2ae^x=e^x
∴2a=1, 即a=1/2；故一个特解为: y*=(1/2)e^x
于是得原方程的通解为 y=C₁cosx+C₂sinx+(1/2)e^x
y'=-C₁sinx+C₂cosx+(1/2)e^x
y'(0)=C₂+1/2=1/2, ∴C₂=0；
y(0)=C₁+1/2=1, ∴C₁=-1/2
故满足初始条件的原方程的特解为: y=-(1/2)cosx+(1/2)e^x