为什么幂等矩阵的秩等于它的迹

由A^2=E可知A的特征值为x^2=1的根且A必然可对角化（特征多项式无重根），由相似多项式秩相等，可设A相似于B=diag｛Er，0｝（r（A）=r），从而tr（A）=tr（B）=r（相似矩阵迹相等）。

等价命题1：若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；

等价命题2：若A是幂等矩阵，则A的AH、AT、A*、E-AH、E-AT都是幂等矩阵；

等价命题3：若A是幂等矩阵，A的k次幂仍是幂等矩阵。

由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。

扩展资料：

幂等矩阵的主要性质：

1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2、幂等矩阵可对角化；

3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；

4、可逆的幂等矩阵为E；

5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6、幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7、幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；

8、A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：

设 A₁，A₂都是幂等矩阵，则(A₁+A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂ =A₂·A₁=0，且有：R(A₁+A₂) =R (A₁) ⊕R (A₂)；N(A₁+A₂) =N(A₁)∩N(A₂)；

设 A₁， A₂都是幂等矩阵，则(A₁-A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=A₂，且有：R(A₁-A₂) =R(A₁)∩N (A₂)；N (A₁- A₂) =N (A₁)⊕R (A₂)；

设 A₁，A₂都是幂等矩阵，若A₁·A₂=A₂·A₁，则A₁·A₂为幂等矩阵，且有：R (A₁·A₂) =R(A₁) ∩R (A₂)；N (A₁·A₂) =N (A₁) +N (A₂)。

参考资料来源：百度百科-幂等矩阵

设A的特征值为t 有A^2X=t^2X=AX=tX 解得t=0或1，再证明A可对角化成diag(1 1..0 0..0)的形式 因为r(E)=n=r(E-A+A)≤r(E-A)+r(A)
又因为(E-A)A=O 得r(E-A)+r(A)≤n
解得r(E-A)+r(A)=n
特征值为1相应的特征向量基础解系维数为
n-r(E-A)
特征值为0相应的特征向量基础解系维数为
n-r(-A)=n-r(A)
故一切特征向量的极大线性无关组的向量数是2n-r(E-A)-r(A)=n因此可以对角化成上述对角阵
有r个特征值为1就有A的秩为r 同时tr(A)等于特征值之和，也等于r*1=r