二元函数问题，求助，250分悬赏 f(x,y)=(-x+1⼀x)(-y+1⼀y),其中x+y=2k,定义域为0<x,y<2k

主要方向还是求出(x,y)的取值范围。。。最好是最小值。。。
f(x,y)=(-x+1/x)(-y+1/y)=1/(xy)+xy-x/y-y/x
然后再添两项。。。两个减1 最后补上+2。。。-y/x-1=-(x+y)/x=-2k/x 同理另一项同理-x/y-1=-2k/y这样原式就可以得出f(x,y)=1/(xy)+xy-2k/x-2k/y+2。。
先看下这两项-2k/x-2k/y 化简 -2k/x-2k/y =-2k*(x+y)/(xy)...就是-2k^2k/xy
这时候就只剩 （1-4k^2）/(xy)+xy 这时候就讨论1-4k^2正负性。。。往下解出来。。注意xy<=k^2基本就可以了（。。。到这边基本是对的。。算的过程我就不保证了。。。最好自己在算一下。。）
1-4k^2>0即k<0.5就类似于函数x+1/x。。最值当xy=1时f(x,y)最小值2(1-4K^2)^0.5+2大于(k-1/k)^2注意到xy
还有k=0.5 xy<=1/16...不成立
1-4k^2小于0即k>0.5时。。单调递增。。注意xy

可用拉格朗日乘数法来求解
构造拉格朗日函数：F（x,y,λ）=(-x+1/x)(-y+1/y)+λ(x+y-2k)
由：
F'x(x,y,λ)=(-1-1/x²)(-y+1/y)+λ=0；……①
F'y(x,y,λ)=(-1-1/y²)(-x+1/x)+λ=0；……②
F'λ(x,y,λ)=x+y-2k=0；…………………③
(①②式消去λ并整理后，再将③代入)求得下列关系：
x+y=2k；
xy=√(1-4k²)；（注：可疑极值点由这两个方程确定，考虑实际因素，不再证明是否为最值点，敬请谅解。）
f(x,y)=(-x+1/x)(-y+1/y)=xy+1/(xy)-((x+y)²-2xy)/(xy)=2√(1-4k²) +2>=(k-1/k)^2
解得：0——————————————————————————
希望对您有帮助，如有疑问，可以追问我！

答案：
0解：
若f(x,y)>=(k-1/k)^2恒成立，即
(-x+1/x)(-y+1/y)>=(k-1/k)^2 两边乘以xy
(x²-1)(y²-1)>=(k-1/k)² xy
即 x²y² - x²- y²+1 >= (k² + 1/k²)xy -2xy
x²y² +1 >= (k² + 1/k²) xy + (x-y)²
移项，配方
(xy-k²)(xy -1/k²) >= (x-y)² (1)
因为x+y=2k,定义域为0可以设 x=k-t, y=k+t 于是 xy= k² - t²
那么(1)可化为 -t²(k² - t² - 1/k²) >= 4t²
即 1/k²- k² + t² >= 4
1/k² >= (k² - t² ) + 4
由 t 的任意性，要k最大，即 t=0
所以(k²)² +4k² - 1 <= 0
解得 0 < k <= √(√5 - 2)
(有双重根号）

二元函数问题，求助，250分悬赏 f(x,y)=(-x+1/x)(-y+1/y),其中x+y=2k,定义域为0百世岁月当代好 千古江山今朝新 万象更新 顺一门有百福 平安二字值千金 万象更新

不难,就是有点烦琐,我算了下你就把Y=2K-X,带入,化成某某大于等于0的形式,,然后用高次函数,求区间.我都大3了,把知道都忘没了,