(X-1⼀X)n次方展开式中X的3次的二项式系数是多少？

2024-11-08 12:05:00

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回答1：

(X-1/X)n次方展开式中，
T=c(n,r)x^(n-r)*(-1/x)^r
=(-1)^r*c(n,r)x^(n-2r),
n-2r=3,r=(n-3)/2为非负整数时，
X的3次的二项式系数是c(n,(n-3)/2).
r=(n-3)/2不为非负整数时，本题无解。

回答2：

(a-b)^n=a^n-Cn,1*a^(n-1)*b+Cn,2*a^(n-2)*b^2-...+(-1)^k*Cn,k*a^(n-k)*b^k+...
即(a-b)^n=∑k=0,n[(-1)^k*Cn,k*a^(n-k)*b^k]
其中，Cn,k=n!/[k!(n-k)!]，∑k=0,n表示k从0.1...n的求和
∴(x-1/x)^n=∑k=0,n[(-1)^k*Cn,k*x^(n-k)*(1/x)^k]
则X^3的二项式系数即(n-k)-k=3时的系数，此时k=(n-3)/2∈[0,n]
∴X^3的系数=(-1)^[(n-3)/2]*Cn,(n-3)/2
此式表明，只有当(n-3)/2∈[0,n]且为整数时，才可能有X^3项，否则无解