设A是一个n阶上三角矩阵，并且主对角线上的元素不为0，如何证明它的逆矩阵也是上三角形矩阵？

证: 用伴随矩阵的方法
由A可逆, A^-1 = A*/|A|
记 A=(aij), A*=(Aij)^T
其中Aij=(-1)^Mij是aij的代数余子式, Mij是aij是余子式.

当i这个0就位于Mij的第i行第i列

所以此时 Mij=0, 对应有 Aij=0.
所以A*是一个上三角矩阵.
所以A^-1=A*/|A|是一个上三角矩阵.

帮助想像的例子:
A=(aij)=
1 2 3 4 5
0 2 33 4 6
0 0 6 7 0
0 0 0 9 8
0 0 0 0 9
a23=33 的余子式 M23=
1 2 4 5
0 0 7 0
0 0 9 8
0 0 0 9

证法二. 用初等行变换求逆矩阵的方法
(A,E)经初等行变换化成(E,A^-1)
由于A是上三角矩阵
在初等行变换中,只需2类变换
1. 将第j行的k倍加到第i行, 且 j>i.
2. 某行乘非零常数
在这两类变换时, 右边一块始终保持上三角的形式.
故最终所得A^-1是上三角矩阵.

我们假设它的逆矩阵为(Bij)。由于A是上三角矩阵，设它形如(Aij)。由于它们互为逆矩阵从而有AB＝I，I是单位矩阵。由于A的最后一行只有一个非零元素，那么我们可以推导出B的最后一行元素除最后一个元素外都为0．（由矩阵乘法，Ann＊Bnj＝Inj，当n!=j时Inj＝0，从而Bnj＝0）。然后由A的倒数第二行可以推导出B的倒数第二行只有最后两个元素可能不为0．以此类推，B是一个上三角矩阵。