求证，1+1⼀2+1⼀3+1⼀4+1⼀5+......+1⼀n 不是整数。

http://zhidao.baidu.com/question/17426250.html
我证过一遍了，不过再复制粘贴一遍吧。

证明：n必然在2的两个幂次之间，设2^k<=n<2^k+1。

令S=1+1/2+1/3.……+1/n，且设N为从1到不大于n的所有奇数之积。即N=1*3*5*……*（不大于n的最大奇数）。
那么考察2^(k-1)*S*N

显然，S中的所有（1/奇数）的项（如1，1/3，1/5，1/7……）乘以N后都是整数。放在一边不管。

不大于n的偶数可以表示成2的若干次幂和一个奇数的积，例如10=2*5，24=2^3*3等等。那么所有（1/偶数）的项也都可以表示成(1/2^t)*(1/奇数)。

那么，除了(1/2^k)这一项外，其他的偶数分母项也都可以在乘了2^(k-1)*N后变成整数。

但是(1/2^k)*2^(k-1)*N=N/2，仍然不是整数。

也就是说，2^(k-1)*S*N=M+N/2，M是一个整数（就是2^(k-1)*N乘以其他所有的分数项），N/2不是整数。

S乘以一个整数还不是整数，那么S本身当然不是整数了。
证毕。

顺便说一句，S=1+1/2+1/3.……+1/n，当n不断增大时，S可以无限增大（只要n足够大，S要多大有多大）。这个证明可以在任意一本讲极限的书上查到。

参考资料：冯克勤《初等数论及应用》

奥特曼知道