证明在欧式空间中保持距离不变的映射是线性映射

证明如下:
首先通过复合适当的平移, 不妨设f(0) = 0. 只要证明f是线性变换.

对任意x∈V-{0}与λ > 0, 设y = λx.
有||f(x)|| = d(f(x),0) = d(f(x),f(0)) = d(x,0) = ||x|| > 0.
同理||f(y)|| = d(y,0) = λd(x,0) = λ·||x||.
而||f(y)-f(x)|| = d(f(y),f(x)) = d(y,x) = ||y-x|| = |λ-1|·||x||.
于是(||f(y)||-||f(x)||)² = ||f(y)-f(x)||², 展开得||f(x)||·||f(y)|| = (f(x),f(y)).
由Cauchy-Schwarz不等式的取等条件, 存在t, 使f(y) = t·f(x) (f(x) ≠ 0).
代回得|t| = λ, |t-1| = |λ-1|, 解得t = λ. 即有f(λx) = λf(x), 对任意λ > 0 (x = 0时显然).

对任意x,y∈V, x ≠ y, 设z = (x+y)/2.
有||f(x)-f(z)|| = d(f(x),f(z)) = d(x,z) = ||(x-y)/2|| = ||x-y||/2 > 0.
同理||f(z)-f(y)|| = ||x-y||/2.
而||f(x)-f(y)|| = d(f(x),f(y)) = d(x,y) = ||x-y||.
于是||f(x)-f(z)||+||f(z)-f(y)|| = ||f(x)-f(y)|| = ||(f(x)-f(z))+(f(z)-f(y))||.
平方并展开得||f(x)-f(z)||·||f(z)-f(y)|| = (f(x)-f(z),f(z)-f(y)).
由Cauchy-Schwarz不等式的取等条件, 存在t, 使f(z)-f(y) = t·(f(x)-f(z)) (f(x)-f(z) ≠ 0).
代回得|t| = 1, 又f(x) ≠ f(y), 只有t = 1, 2f(z) = f(x)+f(y).
由前面已证f(2z) = 2f(z), 即有f(x+y) = f(x)+f(y).

最后在上面结论中取y = -x, 得f(-x) = f(0)-f(x) = -f(x).
进而有f(-λx) = -f(λx) = -λf(x)对任意λ > 0.

综上, f保持加法和数乘, 为线性变换.
复合平移之后f为仿射变换.