191问答库 > 设连续性随机变量X的概率密度f(x)是偶函数,其分布函数为F(x)是偶函数，其分布函数为F（x）

设连续性随机变量X的概率密度f(x)是偶函数,其分布函数为F(x)是偶函数，其分布函数为F（x）

证明对任意实数x有F（x）+F(-X)=1

2025-03-11 02:40:29

推荐回答（3个）

回答1：

首先指出一个错误。题中说“分布函数为F(x)是偶函数”，这是肯定错误的。分布函数的性质有单调不减，正无穷时为1，负无穷时为0，三个性质。因此，分布函数不可能是偶函数或者奇函数。

去掉这个条件，仅保留f(x)是偶函数就可以做这道题。详细过程点下图查看。

回答2：

对于任意实数x，
f(x)是偶函数<=>f(x)=f(-x)<=>f(x)-f(-x)=0;
对两边积分可得
F(x)+F(-x)=C,C为常数;
又因为F(x)为连续性概率分布函数=>F(∞)=1,F(-∞)=0=>C=1;
即对任意实数x有F（x）+F(-X)=1

回答3：

证明：
F(x)+F(-x)
=int_{-inf}^{x}f(u)du+int_{-inf}^{-x}f(u)du
（第二个积分令u=-t）
=int_{-inf}^{x}f(u)du-int_{inf}^{x}f(-t)dt
=int_{-inf}^{x}f(u)du-int_{inf}^{x}f(t)dt （因为f(x)是偶函数）
=int_{-inf}^{x}f(t)dt+int_{x}^{inf}f(t)dt
=int_{-inf}^{inf}f(t)dt
=1