191问答库 > y1=3，y2=3+x^2，y3=3+x^2+e^x是微分方程y"+p(x)y✀+q(x)=f(x)的解，求微分方程的通解

y1=3，y2=3+x^2，y3=3+x^2+e^x是微分方程y"+p(x)y✀+q(x)=f(x)的解，求微分方程的通解

2025-02-28 01:15:46

推荐回答（2个）

回答1：

可知其对应的齐次方程的两个特解为
u1=y2-y1=x^2,
u2=y3-y2=e^x
则齐次方程的通解为
Y=C1·u1+C2·u2=C1·x^2+C2·e^x
则原求微分方程的通解就是
y=Y+y1=C1·x^2+C2·e^x+3
(上式y1可替换为原方程的其它任意特解：y2,
y3
或y2+y3等)

回答2：

y1=x，y2=x^2，y3=e^x为方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个特解
这个二阶微分方程显然有两个通解，那么显然
x^2-x和e^x
-x就是y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解，
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解就是
y=a*(x^2-x)
+b*(e^x
-x)
+
x，
ab为常数