191问答库 > lim(1⼀x)(1⼀x-cotx) (x→0).能用x~sinx解吗

lim(1⼀x)(1⼀x-cotx) (x→0).能用x~sinx解吗

都不对啊，答案是1⼀3

2024-11-18 18:37:53

推荐回答（4个）

回答1：

可以。
=lim(x->0)(sinx-xcosx)/(x^2sinx)
=lim(x->0)(1-cosx)/(x^2)
=lim(x->0)(2sin^2(x/2))/(x^2)
=lim(x->0)(x^2/2)/(x^2)
=1/2

回答2：

洛必达法则最方便了。。。

回答3：

答案是1/3。
原式= (sinx-xcosx) / （sinx·x^2）
由泰勒公式 (sinx-xcosx) =x-x^3/6+。(x^3)-x+x^3/2-。(x^3)=x^3/3+。(x^3)
所以原式=lim x^3/3+。(x^3) / （sinx·x^2） (x趋于0)
又等价无穷小x~sinx
所以原式=lim x^3/3+。（x^3）/x^3=1/3

这是正解

回答4：

x→0lim(1/x)(1/x-cotx)=x→0lim(1/x)(1/x-cosx/sinx)=x→0lim(1/x)[1/x-(cosx)/x]
=x→0lim(1-cosx)/x² (0/0型，用罗比塔法则)
=x→0lim(sinx/2x)=x→0lim(x/2x)=x→0lim(1/2)=1/2.