级数∑1/n^2的前n项和sn=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2是递增的;
且sn<1+1/2+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/[n(n-1)]=2-1/n<2,故sn有界。
由单调有界定理,{sn}存在极限,所以级数∑1/n^2收敛。事实上,级数∑1/n^2收敛于π^2/6。
利用函数的面积进行理解,求两个函数从一到无穷大与x轴围成的面积,发现一个可求,一个不可求,就可得一个发散,一个收敛。
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0| 收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。如果给定一个定义在区间i上的函数列,u1(x), u2(x) ,u3(x)……至un(x)。…… 则由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……⑴称为定义在区间i上的(函数项)无穷级数,简称(函数项)级数。
级数∑1/n^2的前n项和sn=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2是递增的,且sn<1+1/2+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/[n(n-1)]=2-1/n<2,故sn有界。由单调有界定理,{sn}存在极限,所以级数∑1/n^2收敛。事实上,级数∑1/n^2收敛于π^2/6
收敛的