可导函数极值点和拐点充要条件问题

不对。前者只是后者的必要条件，未必充分。

首先，条件只说f可导，没说f二阶可导。有可能f在x0取极大值，f'(x0)=0，但f''(x0)不存在。例如函数f(x)=(sgnx-2)*x^2在0点的情形。

其次，即便f二阶可导，如你所言，也有可能出现f在x0取极大值，而f'(x0)=f''(x0)=0的情形。例如函数f(x)=-x^4在x=0处。

当f'(x0)=f''(x0)=0时，假如f在x0处有更高阶的导数，有个标准的判别法（这个可能是LZ需要的）：

以f_n(x0)记f在x0处的n阶导数，如果f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0, f_(k+1)(x0)≠0。则
(1) k为偶数时，x0不是极值点；
(2) k为奇数时，x0是极大值点当且仅当 f_(k+1)(x0)<0
注意，(2)中前提是f_(k+1)(x0)≠0。

至于证明，用带Peano余项的Taylor公式（展到(k+1)阶）即可。

上述判别法虽然在多数情形下都够用，但并不能解决所有情况！如果f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0但f_(k+1)(x0)不存在，此判别法自然失效。

另外，即使f在x0邻域内任意次可导，如果f在x0处的各阶导数都为0，情况也很囧……注意，实变函数中这种情形是有可能出现的，f在x0处的各阶导数都为0，并不意味着f在x0的一个邻域内为常数函数。经典的例子是f(x)=exp(-1/x^2), f(0)补充定义为0. 对于这样的函数，上面的判别法也失效。

综上，充分性是不对的。极值点在大多数情况下可用此点导数值判断，但遇到一些诡异的情况时导数并不奏效……此时只能考虑从定义入手讨论。例如，若能说明存在t>0,x0-t
至于拐点，一般可化为极值点讨论。事实上，如果f在x0邻域内可导，那么“x0为f的拐点”等价于“x0为f'的极值点”。所以与极值点类似，拐点也很难说有简单的充要条件，不过上述判别法仍然是一个很好的判据。

另外，拐点首先看的是二阶导数（讨论f'的驻点），跟f的驻点并无直接联系！

实际上不难证明（LZ有兴趣不妨试试，算是个不错的练习题）：若f的一个可导点既是严格极值点也是拐点，那f在此点的一个邻域内只能是常数函数！如果去掉“严格”二字，结论变为：在此点的一个左邻域或右邻域内为常数函数。

我来简单回答你吧。 f'（x）=0的点，称为驻点； f''(x)=0的点称为拐点； f'决定曲线的走向（决定函数在某段的增减性）， f''决定开口方向（或许叫凸凹性更合适，不过开口方向容易理解）。

比如，函数在某点f'(x0)=0，切f'(x)<0 , 当x0, 当x>x0;那么由图形可以判断出xo为极小值点（极大值点类似）

如果非要用二阶导数判断， 那么结论如下： 函数在某点f'(x0)=0, f''(x0)<0 (在x0点开口向下），所以该点是极大值点。

【f'(x0)=0且f''(x0)<0】 我假设你的x0不会出现在边界上（比如[a,b]区间的a就是一个边界，若出现在边界上，该点只存在左导数或者右倒数），并你已经假设你的函数可导，那么由此判断【f'(x0)=0且f''(x0)<0】 可以推出x0是极大值点

你可以参阅 数学分析，高等数学等

综上，对于可导函数，x0是极大值点的“充要条件”是【f'(x0)=0且f''(x0)<0】这个结论对