一道高一数学题

同学，这道题去算会算死你的，不过这道题真的很有意思。

三楼给的是特殊值的解法，不够全面，我给你一个一般性的解法，很巧妙的，用初中的知识就能解了，不过不好想的，要有点发散思维或逆向思维才行。

先不管你这道题，作个图。

画个边长为1的正方形，以C点为圆心，边长为半径在正方形内作一段四分之一的圆弧，显然这圆弧过点B、D，而且AB、AD都是切线（与半径垂直，有与圆周只有一个交点，就是切线了）。

现在在圆弧上任意取一点E，过E也作这圆弧的切线，这条切线与AB、AD分别交于点P、Q，那么肯定有：PE=PB，QE=QD（这个初中就学过了）。
因此：
ΔAPQ的周长=AP+AQ+PQ=AP+AQ+PE+QE=AP+AQ+PB+QD=AB+AD=2

下面证明所有满足使ΔAPQ的周长=2的点都落在这段圆弧上，或者与这段圆弧相切的正方形内线段上。

用反证法，假设有一点F不在圆弧BD上且不在切线段PQ上，也能使PF与AP、AD围成的三角形周长=2。

不妨先设点F在圆弧内（此时就不在切线段PQ上了），连接PF并延长交AD于点Q’，得到一个新ΔAPQ’，根据假设，ΔAPQ’的周长=2。
易知在ΔPQQ’中，显然有：PQ＜PQ’+QQ’。
那么ΔAPQ’的周长=AP+AQ’+PQ’=AP+AQ+QQ’+PQ’＞AP+AQ+PQ=2，
与假设ΔAPQ’的周长=2相矛盾，对点F在圆弧与切线段PQ间（即ΔAPQ外）的区域也同理可推出矛盾。

那么点F只能在切线段PQ内（即在ΔAPQ内部），连接PF并延长交AD于点Q”，根据假设，ΔAPQ”的周长=AP+AQ”+PQ”=2。
同样在ΔPQQ”中，显然有：PQ+QQ”＞PQ”
那么：ΔAPQ周长=AP+PQ+AQ=AP+PQ+AQ”+QQ”＞AP+AQ”+PQ”=2
而已知ΔAPQ周长=2，则有：2＞2，矛盾。

因此假设不成立，所有满足使ΔAPQ的周长=2的点都落在这段圆弧上，或者与这段圆弧相切的正方形内线段上。

那么你题目中的线段PQ就满足上面这个结果了，就是PQ必与以C为圆心、以边长为半径的正方形内四分之一圆弧相切。

设切点为E，连接QC、PC，易证出：RtΔQDC≌RtΔQEC，RtΔPBC≌RtΔPEC。
则：∠QCE=∠QCD，∠PCE=∠PCB，因此：
∠PCQ=∠PCE+∠QCE=(∠PCB+∠PCE+∠QCE+∠QCD)/2=∠BCD/2=90°/2=45°

在PQ上截取QE=QD，连CE。由周长易证PE=BP，然后证三角形QEC全等于三角形QDC，然后简单了，得45度

答案是45度 我很确定 但是证明的过程我就不确定了。。
思路：三角形APQ周长为2 而正方形两边和刚好为2 这就是突破点 过C向PQ引垂线 则CPQ被分割为两个直角三角形 经过一个过程（我证不出来了）你可以证出来BPC与CTP CDQ与CTQ都是全等的。。这样PCQ就应该是1/2的直角 45度

答案是45度

取P,Q分别为AB和AD的中点,连接AC,交PQ与点E,则AC垂直PQ,三角形PBC和三角形PEC全等,三角形QECQ和三角形QDC全等,则角ACP和角ACQ分别为22.5度,故PCQ为45

45