求极限lim(x→0）e^-[1⼀(x^2)]⼀x^100

2025-03-10 18:09:55

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回答1：

lim(x→0）100x^2lnx
=lim(x→0）100lnx/(1/x^2)
这是∞/∞型
上下求导得
=lim(x→0）(100/x)÷(－2/x^3)

=lim(x→0）-50x^2
=0
所以
取自然对数

lim(x→0）ln{e^-[1/(x^2)]/x^100}
=lim(x→0）ln{e^-[1/(x^2)]}-lnx^100
=lim(x→0）-1/(x^2)-100lnx
再通分
=lim(x→0）(-1-100x^2lnx)/(x^2)

这是个－1/∞型极限
＝－∞
因此lim(x→0）e^-[1/(x^2)]/x^100
＝lim(x→0）e^ln{e^-[1/(x^2)]/x^100}
=e^(-∞）
＝0

回答2：

令t=1/x,x→0,t→∞
极限lim(x→0）e^-[1/(x^2)]/x^100=lim(t→∞)t^100/e^(t^2)
=lim(t→∞)t^100/[1+t^2+t^4/2+...+t^100/50!+...]
=lim(t→∞)1/[1/t^100+1/t^98+...+1/50!+t^2/51!+...]
=0