世话：照顾
世话する：照顾别人
世话になる：被别人照顾
お世话になりました：被别人照顾了（承蒙你的关照）（给你添麻烦了【因为你照顾了我】）
按照原来的意思翻译的话可能好理解一些。
田中さんの世话になりました
直接翻译是 【被田中先生照顾了】，按意思翻译的话【受到田中的关照】。
当然也可以放已成【给田中先生添麻烦了】
请参考~
お世话になりました 承蒙关照
~になりました ：这个应该和和前面的「お」一起说。
お～～になる ：日语敬语的表现形式，中间用动词的连用形
お食べになります：您吃饭
田中さんの世话になりました ：承蒙田中关照
翻译成受到田中的关照
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