求证不等式(a1*b1*c1*d1)밀+(a2*b2*c2*d2) 밀≤（（a1+a2）(b1+b2)(c1+c2)(d1+d2)）밀

题中所有变量都是正数。
先证明如下结论：
设x1*x2*x3*x4 = M, 则 (1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4) 的最小值在 x1=x2=x3=x4时达到。
证明： 1. 最小值存在， 因为当某个xi ---> 无穷大时， (1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)>xi 也---> 无穷大。所以其最小值必在某点达到。 设此点为（a,b,c,d).
2. 必有 a=b=c=d. 若不然，不妨设 a不=b, 设 a1==b1=根(ab), 则 容易验证：（a1,b1, c,d) 也满足 a1b1cd=M, 且(1+a1)(1+b1)(1+c)(1+d) <(1+a)(1+b)(1+c)(1+d), 但这与 （a,b,c,d)为最小值矛盾。于是结论成立。此时， a=b=c=d=(x1*x2*x3*x4 )^(1/4)

于是： (1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4) >= (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)=(1+(x1*x2*x3*x4 )^(1/4))^4
设 x1 = a1/a2, x2=b1/b2, x3=c1/c2, x4=d1/d2. 带入上式 去分母 整理 便得所要结论。

设e1,e2,分别与c1,c2同号，且满足
b1/a1=(d1 e1)/c1，b2/a2=（d2 e2)/c2
则由等比关系可得
(b1 b2)/(a1 a2)=(d1 d2 e1 e2)/(c1 c2)
=(d1 d2)/(c1 c2) (e1 e2)/(c1 c2)