对称矩阵一定能相似对角化,反过来,是不是对角矩阵只能与对称矩阵相似?有没有这个结论?

2025-01-05 14:26:10
推荐回答(3个)
回答1:

先从理解可相似对角化的充分必要条件着手:
A有n个线性无关的特征向量(注:即要求k重特征值有k个线性无关解)

之所以说实对称矩阵一定可以相似对角化恰恰就是因为它满足可相似对角化的充分必要条件
(不同特征值必线性无关,k重特征值有k个线性无关解)

而满足对角化充分必要条件的绝对不仅仅是实对称矩阵,很多都可以,你只要想出一个特征值不存在重根的就可以简单验证了

回答2:

矩阵可对角化的充要条件是,最小多项式无重根,这点根据Jordan标准型是显然看出的。而对称矩阵一定满足这个条件,因此对称矩阵必可对角化。
至于与对角阵相似的一定是对称矩阵当然不对,简单证一下:
设A=P^(-1)DP,其中D为对角阵。
则:A'=P'D'(P')^(-1)=P'D(P')^(-1)
要使得A=A',需有:
P=P',P=P^(-1)
也就是P为正交矩阵,也就是要求矩阵A正交相似于对角阵,如何在复数域上也就是要求酉相似于对角阵。
这点并不是任何矩阵都能满足的。
但是退而求其次,根据舒尔定理:
任何矩阵课正交相似于上三角矩阵。在复数域上酉相似于上三角阵。

回答3:

当然是错误的。
只是有n个特征值,对应n个不同特征向量的矩阵都可以化为对角阵。