191问答库 > Ax=0与Bx=0同解的充要条件是: r(A) = r(B) = r(A ; B) (A,B上下放置) 为什么要有r(A ; B)？

Ax=0与Bx=0同解的充要条件是: r(A) = r(B) = r(A ; B) (A,B上下放置) 为什么要有r(A ; B)？

2024-11-16 14:43:28

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回答1：

Ax=0与Bx=0同解，因此r（A）=r（B）
这没问题
此时
Ax=0与Bx=0
与
(A;B)x=0
也同解,
所以
三个秩相同
r(A)
=
r(B)
=
r(A
;
B)
反之,
首先
(A;B)x=0
的解
是
Ax=0
的解
由
r(A)
=
r(A
;
B)
知
它们的基础解系所含向量个数相同,
进而同解
同样
由
r(B)
=
r(A
;
B)
时
(A;B)x=0
的解
与
Bx=0
同解

回答2：

设r(ab)=r,则线性方程组abx=0的基础解系中含有s-r个解向量，又线性方程组abx=0与bx=0同解，所以线性方程组bx=0的基础解系中也含有s-r个解向量，所以r(b)=s-(s-r)=r
即r(ab)=r(b)
反之，若r(ab)=r(b)，则线性方程组abx=0与bx=0的基础解系中所含解向量的个数相同。又显然bx=0的所有解都是abx=0的解，所以bx=0的一个基础解系也是abx=0的基础解系。故线性方程组abx=0与bx=0同解。