191问答库 > 已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）＞a在x∈[-

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）＞a在x∈[-

2025-03-06 02:49:22

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回答1：

（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x
∴a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x
∴2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x

2a＝2

2b＝?4

2a+2c＝0

∴f（x）=x²-2x-1（ 5分）
（2）∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2在x∈[-1，2]上的最小值为f（1）=-2（ 8分）
∵f（x）＞a在x∈[-1，2]上恒成立
∴a＜-2（ 10 分）
（3））∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2的对称轴x=1
①当0＜a≤2时，根据二次函数的性质可得，f（x）_max=f（2）=-1
②a＞2时，根据二次函数的性质可得，f（x）_max=f（a）=a²-2a-1
综上可得，g（a）=

?1，0＜a≤2

a2?2a?1，a＞2

（16分）