平面上10个两两相交的圆最多可以将平面分成几份？10个三角形呢？

n个圆：n*(n-1)+2个区域。

n个长方形：4*n*(n-1)+2个区域。

n个三角形：3*n*(n-1)+2个区域。

5个圆和一条直线，32个区域。

详细解答，首先由欧拉公式，对平面上的封闭曲线而言，曲线的交点数-线段数+区域数=2，而对于封闭曲线而言，其上的点数=其上的线段数。又由于我们为了使其分割的区域数达到最大，则每个交点仅为两条曲线的交点（即排除三线共点的情形），于是，平面上的线段数=交点数的两倍，于是我们得到公式：区域数=2+交点数。故来统计交点数。

简单的观察可以发现，我们可以使平面上的N个圆相互两两相交，作图方法看图片所示。因此，对于平面上N个圆，其交点个数最多为 2*[N(N-1)/2]=N(N-1)

于是，N个圆最多将平面分成N(N-1)+2个区域。

对于三角形，长方形的情形，同样利用封闭曲线的欧拉定理，在没有三线共点的前提下，我们总是有区域数等于交点数+2，而平面上的N个矩形可以两两相互有8个交点。N个三角形可以两两相互有六个交点，于是分别有

长方形：8（N(N-1)/2）+2=4N(N-1)+2

三角形：6(N(N-1)/2)+2=3N(N-1)+2

而对于有1条直线的情形，虽然我们不能用封闭曲线的欧拉定理来做，但是，我们可以通过一定的反演变换，发现直线和圆是等价的，而这种变换不改变平面上的区域个数。于是对于一条直线和N个圆的情形等价于N+1个圆。但如果两条或两条以上直线这样的做法可能会有一些问题。因此：

N个圆和一条直线：N(N+1)+2

作为推论，你的问题的答案是：

10个两两相交的圆：92个

10个三角形：272个

10个长方形：362个

5个直线一个圆：32个