求由星形线x^(2⼀3)+y^(2⼀3)=a^(2⼀3)所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积 答案:(32⼀105)πa^3

y=±[a^（2/3）-x^(2/3)]^(3/2)，星形线分成上下两个半支，考虑X轴对称关系，只求上半支即可，从-a至a以Y轴左右对称，可求从0至a积分，再乘以2。

V=2π∫[0,a]{[a^(2/3)-x^(2/3)]^(3/2)}^2dx

=2π∫[0,a][a^2-3a^(4/3)x^(2/3)+3a^(2/3)x^(4/3)-x^2)dx

=2π[0,a][a^2x-3a^(4/3)x^(2/3+1)/(2/3+1)+3a^(2/3)x^(4/3+1)/(4/3+1)-x^3/3]

=2π[a^3-9a^3/5+9a^3/7-a^3/3)

=32πa^3/105

用到差的立方公式，(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

扩展资料：

因此星形线为六次曲线，在实数平面上有四个尖瓣的奇点，分别是星形线的四个顶点，在无限远处还有二个复数的尖瓣的奇点，四个重根的复数奇点，因此星形线共有十个奇点。

如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y)，则线段xy恒为常数，且为a。

星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。

在第一象限星形线也可表示为靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形的包络曲线。

在纸上任意作若干条长度为R的线段，使它们的两端分别在x轴和y轴上，然后在每一象限里画一段光滑的曲线弧，使它们与这些线段相切，这样一条星形线就画出来了。由画图过程可以看出，星形线是由一组直线包络构成的。

参考资料来源：百度百科——星形线

此题为计算πy²对x的积分

附详细计算过程图片一张