男方提出抚养费的诉讼,女方可否在答辩时提出变更子女的抚养权

首先，当初离婚时你放弃抚养权的协议是附条件的，这个条件就是不付抚养费。现在男方反悔，即所附条件不成就，那么双方当初的协议就归于无效。无效后孩子的抚养权应按照有利于孩子成长的原则划分归属。这是本案的前提。
其次，现在按照你所述的情况，两岁以下孩子的抚养权一般会判归母亲所有，这是取得抚养权的一个有利条件。但如果你要以男方父母家有小动物不利于孩子健康成长为答辩理由，则需要说明在现有条件下孩子必然是由男方交其父母抚养，这样孩子生病也是必然的。
再次，根据相关法律的规定，抚养费包括孩子的生活费、学习费用和医疗费用。你支付了6000元的医疗费，已经相当于支付了部分抚养费。对于这部分钱，你可以根据当时双方的协议（即女方不支付抚养费）提起反诉索回。

可以提出新的诉讼请求，法院应该合并审理。胜算可能性很大。2岁以下本来一般就是判给女方，如果你再证明男方抚养对小孩不利，那就更没问题了
最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见　
（一九九三年十一月三日　法发[1993]30号）　　
　1、两周岁以下的子女，一般随母方生活。母方有下列情形之一的，可随父方生活：　　
（1）患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，子女不宜与其共同生活的；　　（2）有抚养条件不尽抚养义务，而父方要求子女随其生活的；　　（3）因其他原因，子女确无法随母方生活的。

可以，依照你的述说是男方父母家在农村，不能直接证明男方自己有无能力抚养，男方自己带孩子有无对孩子不利影响。

你得单独提起诉讼，这不属于反诉的条件

可以，