高中不等式函数问题

楼上的思路是正确的，我再说详细些。可以利用排列组合中的二项式定理来化简分子和分母；(x+1/x)^4＝x^4+4x^2+6+4/x^2+x^4,故分子＝4x^2+4/x^2+6=4(x+1/x)^2-2；
(x+1/x)^3=x^3+3x+3/x+1/x^3，故分母＝3(x+1/x)
可令a=x+1/x>=2,故f=(4a^2-2)/3a=4a/3-2/3a,这在a>=2是增函数，所以最小值为a=2时，此时f=7/3

f(x)=[x^4+4x²+6+4/x²+x^(-4)-x^4-x^(-4)] / (x³+3x+3/x+1/x³-x³-1/x³)
=(4x²+6+4/x²) / (3x+3/x)
=[4(x+1/x)²-2] / [3(x+1/x)]
=4/3 * (x+1/x) - 2/[3(x+1/x)]
x+1/x >= 2√(x*1/x) = 2 （几何平均数不大于算术平均数）
当 x+1/x 取最小值 2 时，- 2/[3(x+1/x)] 取最小值 -1/3
f(x) min = 4/3 * 2 - 1/3 = 7/3

关键在于化简
分子=(x+1/x)^4-x^4-1/x^4]=x^4+4x^2+6+4/X^2+1/X^4-X^4-1/X^4=4x^2+6+4/X^2
分母=3X+3/X