191问答库 > 若不等式a（1⼀4）^x—（1⼀2）^x+1>0在x∈（—∞，0】上恒成立，求a的取值范围。

若不等式a（1⼀4）^x—（1⼀2）^x+1>0在x∈（—∞，0】上恒成立，求a的取值范围。

2025-02-24 01:30:18

推荐回答（3个）

回答1：

解：令t=(1/2)^x
x∈(-∞,0] t∈[1,+∞)
at² - t + 1 >0
a > (t-1)/t² = -1/t² + 1/t
= - (1/t - 1/2)² + 1/4
t≥1
- (1/t - 1/2)² + 1/4 ≤ 0
∴a>0

回答2：

首先x=0时，左边=a，由于x 小于等于零时恒成立，所以a>0.
x<0时。令（1/2)^x=t>0，左边=a*t^2-t+1，此时1-4a>=0时有实根，a<=1/4. 左边=（t-(1+(1-4a)^0.5/2a))*（t-(1-(1-4a)^0.5/2a))>0. 由于原式恒成立，此式t>0时恒成立，得到t>1+(1-4a)^0.5/2a或者t<1-(1-4a)^0.5/2a。
因此0

回答3：

将（1/2)^x视为t，可以解出a>-2