191问答库 > f(x)=∫（0到x）f(x-t)dt+x^2⼀2。楼主头都想烂了，确实做不来。求高人

f(x)=∫（0到x）f(x-t)dt+x^2⼀2。楼主头都想烂了，确实做不来。求高人

2025-03-13 02:09:09

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回答1：

f(x) = ∫(0→x) f(x - t) dt + x²/2
令u = x - t，du = - dt
当t = 0，u = x，当t = x，u = 0
f(x) = ∫(0→x) f(u) du + x²/2，两边对x求导
f'(x) = f(x) + x，积分因子 = e^∫ (- 1) dx = e^(- x)，乘以方程两边
e^(- x) * f'(x) - f(x) * e^(- x) = xe^(- x)
[e^(- x) * f(x)]' = xe^(- x)
e^(- x) * f(x) = ∫ xe^(- x) dx = - ∫ x de^(- x) = - xe^(- x) - e^(- x) + C = - (x + 1)e^(- x) + C
f(x) = - (x + 1) + Ce^x
令x = 0
f(0) = - 1 + C = 0 ==> C = 1
所以f(x) = - (x + 1) + e^x

f(x)=∫（0到x）f(x-t)dt+x^2⼀2。 楼主头都想烂了，确实做不来。求高人

f(x)=∫（0到x）f(x-t)dt+x^2⼀2。楼主头都想烂了，确实做不来。求高人