191问答库 > 设f（x）有连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，且F（x）=∫x0(x2?t2)f（t）dt．当x→0时，F′（x）与xk是

设f（x）有连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，且F（x）=∫x0(x2?t2)f（t）dt．当x→0时，F′（x）与xk是

2025-03-07 09:23:20

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回答1：

∵F(x)
＝x2∫
f(t)dt
?∫
t2f(t)dt
∴F′（x）=2x
∫
f(t)dt+x²f（x）-x²f（x）=2x
∫
f(t)dt
∴由已知条件F′（x）与x^k是同阶无穷小，且f（0）=0，f′（0）≠0，有

lim

x→0

F′(x)

xk

＝

lim

x→0

2x
∫
f(t)dt

xk

＝

lim

x→0

2
∫
f(t)dt

kxk?1

═

lim

x→0

2f(x)

k(k?1)xk?2

=

lim

x→0

2f′(x)

k(k?1)(k?2)xk?3

=2f′(0)

lim

x→0

1

k(k?1)(k?2)xk?3

≠0
∴k=3
故选：C．