2011年高考全国2卷的文科生数学答案是什么

2011年高考题全国卷II数学试题·文科全解全析
科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(文科)

1
（1）设集合 , 则
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求 ,
进而求出其 补集为 .
【精讲精析】选D. .
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4
（2）函数 的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B.在函数 中， 且反解x得 ，所以 的反函数为 .
​
20
（3）设向量 满足 ,则
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.
【精讲精析】选A.即寻找命题P使P 推不出P，逐项验证可选A。
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29
（4）若变量x，y满足约束条件 ，则 的最小值为
（A）17 （B）14 （C）5 （D）3
【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函数 的z的取值也其在y轴的截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。
【 精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线 过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.

24
（5）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是
（A） （B ） （C） （D）
【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.
【精讲精析】选A.即寻找命题P使P 推不出P，逐项验证可选A。
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11
（6）设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：
利用 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D.

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19
（7）设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了 是此函数周期的整数倍。
【精讲精析】选C. 由题 ,解得 ，令 ，即得 .
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40
(8) 已知直二面角 ，点A∈ ， ,C为垂足，点B∈β， ,D为垂足.若AB=2，AC=BD=1，则CD=
（A） 2 （B） （C） （D）1
【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形中求解即可。
【精讲精析】选C. 在平面内过C作 ，连接BM，则四边形CMBD是平行四边形，因为 ，所以 ，又 , 就是二面角
的平面角。 .
所以 代入后不难求出 。
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45
(9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门 ，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种
【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出2人选修课程甲，第二步再把剩余两人分别选乙、 丙.
【精讲精析】选A.第一步选出2人选修课程甲有 种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有 种选法，根据分步计数原理，有 种选法。
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6
(10)设 是周期为2的奇函数，当0 ≤x≤1时， = ，则 =
(A) - (B) (C) (D)
【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 转化到区间[0,1]上进行求值。
【精讲精析】选A.
先利用周期性，再利用奇偶性得: .
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42
(11)设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
(A)4 (B) (C)8 (D)
【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线y=x上并且在第一象限是解决这个问题的关键。
【精讲精析】选D.由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a>0),则 ,求出a=1,a=9.所以C1(1,1),C2(9,9),所以由两点间的距离公式可求出 .
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42
(12)已知平面α截一球面 得圆M，过圆心M且与α成 二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4 ，则圆N的面积为
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。
【精讲精析】选B.
作示意图如，由圆M的面积为4 ，易得 ，
中， 。
故 .
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45
(13)(1- )20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .
【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意 .
【精讲精析】0. 由 得 的系数为 , x9的系数为 ,而 .
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17
(14)已知a∈( ， )，tanα=2，则cosα= .
【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。
【精讲精析】 由a∈( ， )，tanα=2 得 .
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39
（15）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
【思路点拨】找出异面直线AE与BC所成的角是解本题的关键。只要在平面A1B1C1D1内过E作及B1C1的平行线即可。
【精讲精析】 取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则 就是异面直线AE与BC所成的角。在 中， 。
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33
(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|A F2| = .
【思路点拨】本题用内角平分线定理 及双曲线的定义即可求解。
【精讲精析】6.
由角平分线定理得： ,故 .
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12
(17)(本 小题满 分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
设等比数列 的前n项和为 ,已知 求 和 .
【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。
【精讲精析】设 的公比为q,由题设得
解得 或 ，
当 时，
当 时， .
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21
（18）(本小题满 分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知 .
(Ⅰ)求B；
（Ⅱ）若 .
【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。
（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。
【精讲精析】(I)由正弦定理得
由余弦定理得 。
故 ，因此 。
（II）

故
.
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46
(19)(本小题满 分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；
（Ⅱ）求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
【思路点拨】此题第（I）问所求概率可以看作“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地的1位车主购买甲种保险”两个事件的和。由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。
(II)第（II）问，关键是求出“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助n次独立重复试验发生k次的概率计算公式求解即可.
【精讲精析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。
（I）P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
(II)D= ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,
P(E)= .
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39
(20）(本小题满 分l2分)(注意：在试题卷上作答无 效)
如图，四棱锥 中， ∥ , ，侧面 为等边三角形. .
(I) 证明：
(II) 求AB与平面SB C所成角的大小。
【思路点拨】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。
(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。
【精讲精析】证明：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。
连结SE，则
又SD=1，故
所以 为直角。
由 ，得
,所以 .
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以
（II）由 知，
作 ，垂足为F，则 ,
作 ，垂足为G，则FG=DC=1。
连结SG，则
又 ， ,故 ，
作 ，H为垂足，则 .

即F到平面SB C的距离为 。
由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也为 。
设AB与平面SBC所成的角为 ，则 , .
解法二：
以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C-xyz,设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）。
又设S（x,y,z），则x>0,y>0,z>0.
(I)
由 得
故x=1.
由 得 ，
又由 得，
即 ，故 。
于是 ，

故 ，又
所以 .
（II）设平面SBC的法向量 ，
则
又
故
取 得 ，又
.
故AB与平面SBC所成的角为 .
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53
（21）(本小题满 分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若 求a的取值范围。
【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。
(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程 的判别式进行分类讨论.
【精讲精析】解：（I） .
由 得曲线 在x=0处的切线方程为

由此知曲线 在x=0处的切 线过点（2，2）。
（II）由 得
（i）当 时， 没有极小值；
(ii)当 或 时，由 得

故 。由题设知 ，
当 时，不等式 无解；
当 时，解不等式 得
综合(i)(ii)得 的取值范围是 。
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35
（21）已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足
(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把 用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明 互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。
思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出 圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.
【精讲精析】 (I)设
直线 ，与 联立得

由 得
,

所以点P在C上。
（II）法一：

同理

所以 互补，
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。
法二：由 和题设知， ,PQ的垂直平分线 的方程为 …①
设AB的中点为M，则 ，AB的垂直平分线 的方程为 …②
由①②得 、 的交点为
,

, ,

故 .
所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.​