191问答库 > 1.设X1>a>0，且Xn+1=根号aXn（n=1,2，……），证明limn→∞Xn存在，并求此极限值

1.设X1>a>0，且Xn+1=根号aXn（n=1,2，……），证明limn→∞Xn存在，并求此极限值

2.证明：当x→0时，2/3（cosx-cos2x）~x눀

2024-12-05 05:43:29

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回答1：

1.
x(n+1)=√(axn)

先证xn有下界：
猜想xn>a
利用数学归纳法：
x1>a
假设，当n=k，xk>a
则，当n=k+1，x(k+1)=√(axk)>a
故，数归成立，xn>a

再证xn单调递减：
x(n+1)-xn
=√(axn)-xn
<0
故xn单调递减

因为xn单调递减且有下界，故xn收敛，设收敛到x
x(n+1)=√(axn)
同取极限，
lim x(n+1)=lim √(axn)
x=√(ax)
x=a
即，lim xn=a

2.
x→0
lim (2/3)(cosx-cos2x) / x^2
利用和差化积：
cosx-cosy=2sin((x+y)/2)*sin((y-x)/2)
=lim (2/3)(2*sin(3x/2)*sin(x/2)) / x^2
=lim sin(3x/2)/(3x/2) * lim sin(x/2)/(x/2)
根据重要的极限：lim(x→0) sinx/x=1
=1*1
=1
因此，2/3（cosx-cos2x）~x²

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